تعلم البرهان بالتراجع السنة 3 ثانوي La preuve à reculer

من أنماط البراهين التي يتعلمها تلميذ الثانوي البرهان بالتراجع ( La preuve à reculer ) , فبعد أن أكتسب التلميذ مجموعة من طرق البرهنة في السنوات الماضية يتعرف على هذا النوع في السنة الثالثة ( 3 ) ثانوي . ويدرسه ضمن محور المتتاليات العددية .

تعلم البرهان بالتراجع السنة 3 ثانوي

موضوعنا سيكون في النقاط التالية : 

• مفهوم البرهان في الرياضيات وأنواع البراهين الرياضية المشهورة .
• شرح مبادئ البرهان بالتراجع وما هي الأشكال التي لا بد أن تتقن تطبيق البرهان بالتراجع عليها . 
• النقطة الأخيرة شرح بالفيديو مبدئ البرهان بالتراجع ثم أخذ أمثلة عن كل شكل لا بد أن تعرفه .
• تمارين للتحميل في البرهان بالتراجع على شكل pdf

أولا : مفهوم البرهان الرياضي وما هي أنواعه الأكثر إستعمالا .

البرهان الرياضي تفكير عقلي منطقي يتم فيه الإنتقال وفق مراحل متدرجة باستعمال مسلمات أو خواص رياضية مبرهنة حتى نتمكن من الوصول إلى المطلوب , فالبرهان الرياضي ليس عملية تجريبية نقوم بها بل هو عملية ذهنية محضة .

وبالتالي فالتفكير السليم الذي يتبع قواعد رياضية ومنطقية سليمة لا بد أن يصل صاحبها إلى نتائج سليمة , وللبرهان الرياضي أنواع أهمها :

• البرهان بالعكس النقيض .
• البرهان بالخلف .
• البرهان بفصل الحالات .
• البرهان بالتراجع أو الإستدلال بالتراجع .

وطبعا الأنواع الثلاثة الأولى يكون التلميذ قد مارسها في السنوات الماضية ضمنيا, أما النوع الأخير فهو المقرر في السنة 3 ثانوي والذي سنقوم بشرحه في دروس مرئية شرحا مفصلا بإذن الله , مع إعطاء ملاحظات مهمة جدا فيما نكتبه .

ثانيا : أسس البرهان بالتراجع والأشكال التي لا بد أن يتقنها التلميذ

يبدأ البرهان بالتراجع بتسمية الخاصية المراد إثباتها , ثم نقوم ببرهنتها بالإستناد على ركيزتين أثنتين :

• نفرض صحة الخاصية من أجل أصغر عدد طبيعي m مثلا . وهي الخاصية الإنطلاقية وهي مهمة جدا في إثبات صحة علاقة رياضية معطاة , فقد يكون شرط صحة الإستلزام الذي هو الركيزة الثانية , ومع ذالك القضية ككل غير صحيحة , لذالك فإنه ينبغي تنبيه التلميذ على هذا وإعطاؤه أمثلة كي لا يستهين بهذا الشرط .
• نبرهن صحة الإستلزام الذي يقول أنه إذا كانت الخاصية صحيحة من أجل كل عدد طبيعي n أكبر أو يساوي m فإنها صحيحة من أجل العدد n+1

مبدأ البرهان بالتراجع

بعد الإنتهاء من هاتين المرحلتين نكون قد أثبتنا صحة ما طلب منا , وطبعا المرحلة الأولى بالنسبة للتلميذ سهلة , ولكن المشكلة تكمن في الخطوة الثانية , فينبغي للتلميذ فهمها جيدا ولفهمها عليه اتباع النصائح التالية :

على التلميذ أن يتمرن على البرهان بالتراجع في حالة طلب إثبات صحة مساواة , أو في حالة طلب إثبات صحة متباينة . فالمطلوب لا يخرج عن هاتين الحالتين .

على التلميذ أن يدرك أنه في الخطوة الثانية أصبح لدينا قضيتين . الأولى : هي الخاصية من أجل القيمة n وهذه نفرض صحتها , أي انها أصبحت معطى من المعطيات الذي سنستعمله لإثبات صحة القضية الثانية , أما القضية الثانية فهي الخاصية من أجل القيمة n+1 وهي التي قد أصبحت المطلوب الآن , ولإثباتها نستعمل إحدى الطريقتين :

• الأولى : ننطلق من الخاصية من أجل القيمة n ونستعمل مجموعة من الإجراءات للوصول إلى الخاصية من اجل القيمة n+1 .
• الثانية : ننطلق من أحد طرفي الخاصية من أجل القيمة n+1 وهي في الغالب إما مساوات أو متباينة , أو علاقة يمكن تحويلها لأحدهما , فننطلق من أحد طرفيها ونستعمل الخاصية من أجل القيمة n كمرحلة مساعدة للوصول للطرف الثاني من الخاصية التي انطلقنا منها كما سوف ترى في النماذج التطبيقية .

درس بالفيديو يحتوي نماذج تطبيقية .

هذا الفيديو يحتوي على :

• شرح أسس البرهان بالتراجع .
• أخذ كل النماذج الأساسية في برهان صحة مساواة وصحة متباينة , فهو يحتوي على أربع تمارين متنوعة .

تحميل سلسلة البرهان بالتراجع السنة 3 ثانوي pdf