طرائق أساسية وتمارين الموافقات في congruences dans Z

هذا الموضوع الذي سنقوم بإنشائه يتضمن شرحا مفصلا لدرس الموافقات نشرح فيه المفاهيم الأساسية , مع أخذ تطبيقات أساسية  . فمن خلال حصرنا لنماذج التمارين والتوجيهات التي نقدمها للتعامل مع مختلف الأشكال سيتحصل لدى التلميذ إدراك جيد وقدرة على تحصيل علامة جيدة بإذن الله .

طرائق أساسية وتمارين الموافقات في Z

مفهوم الموافقات في Z 

تعريف : الأعداد التي نختارها من مجموعة الأعداد الصحيحة Z , عندما نأخذ عددين d و c ثم نقوم بقسمتهما على عدد طبيعي n لا يساوي الصفر , فإذا تحصلنا على نفس الباقي قلنا أن العددان c و d متوافقين , وحينها نسمي العدد n الترديد , أما إن لم نتحصل على نفس الباقي قلنا أن العددين c و d غير متوافقين . نرمز للعديين المتوافقين بالرمز ⟮c ≡ d⟮n  .

مثال : في عملية القسمة الإقليدية لكل من العددين 27 و 92 على العدد 5 نجد أن لهما نفس الباقي وهو 2 حيث : 2+5×5=27  و 2+18×5=92 , حينها نقول أن 27 يوافق 92 بترديد 5 أو 92 يوافق 27 بترديد 5 ونكتب :  

27≡92⟮5⟯   ou    92≡27⟮5⟯    

هذا التعريف ليس عمليا في غالب الأحيان لحل التمارين لذا فإننا نلجأ إلى مبرهنات وخواص الموافقات .

قد يعجبك :   

• تحميل سلسلة تمارين في الموافقات في Z 
• شرح درس القسمة في Z مع تمارين للتحميل 

الخاصية الأساسية في الموافقات : 

حلول تمارين الموافقات ترتكز أساسا على مبرهنة وخاصية أساسية , فالمبرهنة تربط بين فرق العددين المتوافقين والمضاعف بحيث أنه إذا كان الفرق بين العددين الصحيحين c و d مضاعفا للعدد الطبيعي m الذي شرطه ألا يكون معدوما , أمكننا القول أن c و d متوافقان بترديد m .

فبدلا من أن نبحث عن باقي قسمة c على m ثم عن باقي قسمة d على m ونقارن بينهما , فإننا نقوم بحساب الفرق d-c وننظر هل هو مضاعف للعدد m أم لا , فمثلا الفرق 10-4 يساوي 6- وهو من مضاعفات العدد 2 , نقول حينئذ أن 10 يوافق 4 بترديد 2 , أم الفرق 5-12 فهو يساوي 7 , وهو ليس من مضاعفات العدد 3 , فنقول أن 12 لا يوافق العدد 5 بترديد 3 . 

وأيضا من الخواص المستعملة كثيرا في حل التمارين خاصية أنه إذا كان d هو باقي قسمة c على n فإن ⟮c ≡ d⟮n , فبدلا من أن نستعمل التعريف نلجأ إلى إحدى هذين المفهومين الذين يربطان بين المضاعف والموافقات , أو بين باقي القسمة والموافقات .

ثم لاحظ أن كل الخواص المتعلقة بالموافقات هي مبرهنة باستعمال أحد هذين المفهومين . فلا بد للتلميذ أن يفهم جيدا العلاقة بين ثلاث مفاهيم وهي المضاعف , القسمة , الموافقات , ليستطيع التخلص من المشكلات التي تعترضه أثناء حل التمارين . فلربما لا يجيد العمل بالموافقات جيدا فإنه سيقوم بتحويل المسألة إلى مضاعفات أو إلى خواص القسمة . كما تساعده في حال النسيان  , فخواص الموافقات كثيرة فعندما يعرف التلميذ مصادر هذه الخواص يستطيع تذكرها .

أمثلة : 

• العدد 15 لا يوافق العدد 10 بترديد 3 لأن 5=10-15 ليس من مضاعفات العدد 3 .
• العدد 9 يوافق العدد 2 بترديد 7 لأن 2-9 من مضاعفات العدد 7 .
• a و b حدين كيفيين من متتالية حسابية معرفة على مجموعة الأعداد الطبيعية , أساسها هو العدد الطبيعي m , برهن أن a و b متوافقين بترديد m .

ليكن c هو الحد الأول من هذه المتتالية , وبالتالي فإنه يمكن كتابة كلا من a و b على الشكل a=c+k×m و b=c+d×m  حيث k و d عددين طبيعيين إذن : 

a-b=(c+k×m)-(c+d×m)=k×m-d×m=(k-d)×m

وبالتالي فإن : 

a-b=(k-d)m

إذن a-b مضاعف للعدد m ومنه a يوافق b بترديد l .

تطبيقات أساسية في الموافقات 

أسئلة الموافقات نوعان الأول يتعلق بحل معادلات في N أو Z والثاني دراسة بواقي القسمة حسب قيم العدد الطبيعي . وسنأخذ نماذج تطبيقية لكل نوع منها .

في نموذج المعادلات يمكن تقسيمها لنوعين النوع الأول حيث يتواجد المجهول الذي نبحث عنه في الترديد , فطريقة الحل في هذه الحالة تعتمد على محاولة التخلص من المجهول في الطرف الآخر باستعمال أحد خواص الموافقات . أما في النموذج الثاني فإن المجهول لا يكون متواجدا في الترديد , حينها تكون طريقة الحل بمحاولة جعل معامل المجهول n  يساوي 1 بإحدى خواص الموافقات .

ثم لاحظ أنه يمكن إرجاع معادلات الموافقات إلى أسئلة القسمة التي من الشكل , فعند تعيين قيمة العدد n حتى يكون العدد 9+n مثلا قابلا للقسمة على العدد 1+n . فيمكن حل المعادلة (n+9 ≡ 0(n+1 بطريقة القسمة , كل هذه الطرق قمنا بشرحها في فيديوات على قناتنا .

تمرين رقم 1 : هذا التمرين يحتوي النموذجين والسؤال هو حل في N المعادلات : 

46 ≡ 0⟮n⟯     n+9 ≡ 0⟮n+1⟯   ;   2n²+3n+2 ≡ 0⟮3⟯    

لمشاهدة حل النموذج الثاني من هنا

تمرين رقم 2 : حل الجمل التالية : 

n ≡ 3⟮5⟯    et      n ≡ 1⟮6⟯        ;          2n ≡ 2⟮4⟯    et    4n ≡ 1⟮3⟯

قد يهمك أيضا : 

 حلول تمارين القسمة والموافقات في Z على قناتنا من هنا 

أما عن التمرين الثالث والرابع الذين سنقترحهما سيكونان حول دراسة بواقي القسمة , ويعتمد حلهما على دراسة بواقي القسمة باستعمال الموافقات من أجل قيم معلومة حتى يتكرر الباقي . ثم نستعمل الخواص لإستنتاج البواقي حسب قيم n .

تمرين رقم 3 :جد تبعا لقيم n بواقي قسمة   2n²+3n+2 على 4 .

تمرين رقم 4 : هذا التمرين من الشكل أدرس بواقي قسمة a أس n على b .

هذين النموذجين هما أساس كل التمارين , ولكن الإختلاف أحيانا يكون في صياغة الأسئلة لكن طرق الإجابة تبقى نفسها , فعلى التلميذ أن يتنبه لهذا جيدا .