طريقة إثبات أن العدد جذر 2 ليس عددا ناطقا ( البرهان بالخلف )
يتعرف التلميذ في السنة أولى ثانوي إلى الفروق بين المجموعات الأساسية للأعداد , فيدرك أن الأعداد الحقيقية منقسمة لمجموعتين أعداد ناطقة وأعداد غير ناطقة ( صماء ) , ثم يأخذ مثالا للأعداد الصماء هو جذر 2 ويحاول أن يثبت أنه ليس عدد ناطقا .
شاهد أيضا :
سلسلة تمارين متنوعة وشاملة في الأعداد والحساب الحلول أولى ثانوي علمي
السلسلة رقم 2 في الأعداد والحساب محلولة السنة أولى ثانوي علمي
أمور مهمة يجب أن يعرفها التلميذ ليستطيع فهم البرهان أن جذر 2 ليس عددا ناطقا
تعتبر طريقة البرهان جديدة على التلميذ فهو لم يعتدها في السنوات الماضية خصوصا أن التعامل ففيها بالمجاهيل أكثر , ولذالك من المهم أن يتعرف التلميذ على مجموعة من النقاط الأساسية المستعملة في إثبات أن العدد جذر 2 ليس عددا ناطقا , فأهم ما يجب عليه معرفته هو :
1 . العدد الناطق هو كل عدد ناطق أمكن كتابته على شكل كسر بسطه ومقامه عددان صحيحان نسبين .
2 . كل عدد ناطق يمكن كتابته على شكل غير قابل للإختزال .
3 . يكون الكسر غير قابل للإختزال إذا كان بسطه ومقامه أوليان فيما بينهما , أي أن قاسمهما المشترك الأكبر يساوي الواحد وبالتالي فإنه لا يمكن أن نجد قاسما لهما أكبر من الواحد .
4 . العدد الزوجي هو كل عدد يقبل القسمة على إثنان , وبالتالي فإننا يمكننا كتابته على شكل جداء إثنان وعدد طبيعي أي ( 2n ) .
5 . عندما نربع عددا زوجيا فإننا نتحصل على عدد زوجي , وعندما يكون العدد زوجي وله جذر تام فإن جذره سيكون عددا زوجيا أيضا , فالعدد 16 زوجي وهو مربع عدد طبيعي وهو أربعة وهكذا .
شرح بالفيديو طريقة إثبات أن العدد جذر 2 ليس عددا ناطقا
البرهان المستعمل في المسألة هو البرهان بالخلف , والتلميذ في هذه المرحلة يكون الأمر غريبا عليه فلم يعتد تسمية البراهين بأسماء معينة .
ينطلق البرهان بالخلف بنفي القضية المراد إثبات صحتها , فنحن هنا نريد إثبات أن جذر إثنان عددا ناطق , فإننا نقوم بنفي القضية فنتحصل على القضية التالية العدد جذر إثنان عدد ناطق , ثم نقوم بإجراء مجموعة من الإجراءات والعمليات الرياضيات فنصل إلى نتيجة تناقض البداية التي انتلقنا منها .
فعندما نفرض أن العدد جذر 2 عدد ناطق فإنه يعني أنه يمكننا كتابته على شكل كسر غير قابل للإختزال , فنفرض أن بسطه هو العدد الطبيعي a ومقامه هو العدد الطبيعي b بحيث يكونان أوليان فيما بينهما , لأن الكسر مكتوب في صورته غير القابلة للإختزال , ولكن في النهاية نتحصل أن العددين و غير أوليين فلها قاسم مشترك أكبر من الواحد هو إثنان , مما يعني أن فرضية جذر 2 عدد ناطق توصلنا إلى التناقض , وبالتالي فإن الفرضية خاطئة إذن جذر 2 ليس عددا ناطقا .